Title: Terminale / Maths / Chapitre 14 loi des grands nombres

Q: E(aX + b) = [...]
A: a E(X) + b

Q: V(aX + b) = [...]
A: a^2 V(x)

Q: σ(aX + b) = [...]
A: |a| σ(X)

X + Y est la variable aléatoire qui prend la somme des valeurs possibles de X et de Y.

Q: E(X + Y) = [...]
A: E(X) + E(Y)

Q: Si X et Y sont [...], V(X + Y) = [...]
A: indépendantes; V(X) + V(Y)

Inégalité de Markov :
Si X est une variable aléatoire à valeur positive et que a > 0, p(X ≥ a) ≤
E(X)
a

Inégalité de Markov : la probabilité que X prenne des valeurs plus grandes que a est d'autant plus petite que a est grand.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
Si t > 0, p(|X - E(X)| ≥ t) ≤
V(X)
t^2

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : la probabilité que les valeurs prises par X s'écartent d'au moins t de l'espérance E(X) est d'autant plus petite que t est grand.

On considère un schéma de Bernoulli comportant n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Pour tout i de 1 à n, on note X_i la variable aléatoire associée à la n-ième épreuve de Bernoulli qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 sinon : on a alors p(X_i = 1) = p.
Chaque variable X_i suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

La variable aléatoire S_n = \(\sum_{i=1}^{i=n}X_i\) = X_1 + X_2 + ... + X_n est égale au nombre de succès lors des n répétitions et suit la loi binomiale de paramètres n et p.

On appelle fréquence empirique (ou moyenne) des variables aléatoires X_1, X_2, ..., X_n la variable aléatoire M_n =
S_n
n
=
X_1 + X_2 + ... + X_n
n
.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à S_n et M_n donne p(|S_n - np| ≥ t) ≤
np(1-p)
t^2
et p(|M_n - p| ≥ t) ≤
p(1-p)
nt^2
.

Si on a une expérience aléatoire X répétée n fois de manière indépendante, on a les variables aléatoires X_1, X_2, ..., X_n.
Pour tout réel t > 0, p(|M_n - E(X)| ≥ t) ≤
V(X)
nt^2
.
Autrement dit, on a lim p(|M_n - E(X)| ≥ t) = 0 : M_n converge en probabilité vers E(X) lorsque n tend vers +∞.